Bất đẳng thức Minkovsky (Mincôpski).

13 lượt xem |  01/01/2021

1.1. Dạng tổng quát.

Cho hai dãy số thực  \(\left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right)\)  và  \(\left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} \right)\)

Khi đó:  \(\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} + \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} + ... + \sqrt {{a_n}^2 + {b_n}^2} \ge \sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2} + ...{a_n}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} + {b_2} + ...{b_n}} \right)}^2}} .\)

Đẳng thức xảy ra khi:  \(\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}.\)

 

1.2. Dạng cụ thể.

1.2.1. Dạng 1:   

Cho các số thực a, b, c, d  thì ta có:  \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} .\)                         

Đẳng thức xảy ra khi:  \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}.\)

 

1.2.2. Dạng 2:              

Cho các số thực a, b, c, d, e, f  thì ta có: 

 \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} + \sqrt {{e^2} + {f^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c + e} \right)}^2} + {{\left( {b + d + f} \right)}^2}} .\)                         

Đẳng thức xảy ra khi:  \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}.\)

Chú ý: Minkovsky cũng là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz.

 

1.3. Các ví dụ minh họa.

 Ví dụ 1. Cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn  \(ab+bc+ca=abc.\)

 Chứng minh rằng:  \(\frac{{\sqrt {{b^2} + 2{a^2}} }}{{ab}} + \frac{{\sqrt {{c^2} + 2{b^2}} }}{{bc}} + \frac{{\sqrt {{a^2} + 2{c^2}} }}{{ca}} \ge \sqrt 3 .\)

 

Chứng minh

 

Biến đổi giả thiết:  \(ab + bc + ca = abc \leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1.\)

Ta có:  \(\frac{{\sqrt {{b^2} + 2{a^2}} }}{{ab}} + \frac{{\sqrt {{c^2} + 2{b^2}} }}{{bc}} + \frac{{\sqrt {{a^2} + 2{c^2}} }}{{ca}} = \sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{2}{{{b^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{{b^2}}} + \frac{2}{{{c^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{{c^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}}} .\)

Sử dụng bất đẳng thức Minkovsky, ta có được:

\(\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{b}} \right)}^2}} + \sqrt {\frac{1}{{{b^2}}} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{c}} \right)}^2}} + \sqrt {\frac{1}{{{c^2}}} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{a}} \right)}^2}} \ge \sqrt {{{\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)}^2} + 2{{\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)}^2}} .\)

Vậy:  \(\frac{{\sqrt {{b^2} + 2{a^2}} }}{{ab}} + \frac{{\sqrt {{c^2} + 2{b^2}} }}{{bc}} + \frac{{\sqrt {{a^2} + 2{c^2}} }}{{ca}} \ge \sqrt 3 .\)

Bạn đã vote: Rất tốt 4
4 1 vote
Bình luận (0)
Thông tin người gửi
0.46606 sec| 2423.484 kb