Bất đẳng thức Svac-xơ (thường gọi là bất đẳng thức cộng mẫu).

13 lượt xem |  01/01/2021

1.1. Dạng tổng quát.

Cho hai dãy số thực  \(\left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right)\)  và  \(\left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}}>0 \right)\)

Khi đó:  \(\frac{{{a_1}^2}}{{{b_1}}} + \frac{{{a_2}^2}}{{{b_2}}} + ... + \frac{{{a_n}^2}}{{{b_n}}} \ge \frac{{{{\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)}^2}}}{{{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}}}.\)

Đẳng thức xảy ra khi:  \(\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}.\)

 

1.2. Dạng cụ thể.

1.2.1. Dạng 1:   

Cho x, y dương thì ta có:  \(\frac{{{a^{\rm{2}}}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}.\)                         

Đẳng thức xảy ra khi:  \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}.\)

 

1.2.2. Dạng 2:              

Cho x, y, z dương thì ta có:  \(\frac{{{a^{\rm{2}}}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} + \frac{{{c^2}}}{z} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{x + y + z}}.\)                         

Đẳng thức xảy ra khi:  \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}.\)

 

1.3. Các ví dụ minh họa.

 Ví dụ 1. Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng:  \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.\)

 

Chứng minh

 

Sử dụng bất đẳng thức Svac-xơ, ta có: 

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{{{1^2}}}{a} + \frac{{{1^2}}}{b} \ge \frac{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}}{{a + b}} = \frac{4}{{a + b}}.\)

Đẳng thức xảy ra khi: \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow a = b.\)

 

Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:  \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} \ge \frac{{36}}{{a + b + c}}.\)

 

Chứng minh

 

Sử dụng bất đẳng thức Svac-xơ, ta có: 

\(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = \frac{{{1^2}}}{a} + \frac{{{2^2}}}{b} + \frac{{{3^2}}}{c} \ge \frac{{{{\left( {1 + 2 + 3} \right)}^2}}}{{a + b + c}} = \frac{{36}}{{a + b + c}}.\)

Đẳng thức xảy ra khi:  \(\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}.\)

0 vote
Bình luận (0)
Thông tin người gửi
0.03156 sec| 2419.945 kb