I. Các phép toán cơ bản và phép biến đổi ma trận:
Phép biến đổi các hàng (dòng) của ma trận sau đây được gọi là phép biến đổi sơ cấp của các hàng (dòng)
1.Nhân tất cả các phần tử của một dòng với cùng 1 số khác 0, ( Biến dòng ia lần dòng i), ký hiệu: 
2.Cộng các phần tử của một dòng đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 dòng khác. (Biến dòng i thành dòng i cộng a dòng j), ký hiệu:
3. Đổi vị trí hai hàng. (hoán vị dòng i và dòng j với nhau), ký hiệu:
Tương tự ta cũng thực hiện các phép biến đổi cơ bản trên các cột như sau:
1.Nhân tất cả các phần tử của một cột với cùng 1 số khác 0, ( Biến cột i thành a lần cột i), ký hiệu:
2.Cộng các phần tử của một cột đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 cột khác. (Biến cột i thành cột i cộng a cột j), ký hiệu:
3. Đổi vị trí hai cột. (hoán vị cột i và cột j với nhau), ký hiệu:
Các phép biến đổi cơ bản của một hàng hoặc cột được gọi chung là các phép biến đổi chính.
Hai. Ma trận bước:
2.1 Định nghĩa:
1. Nếu một hàng (hoặc cột) của ma trận a chỉ chứa các phần tử bằng 0 thì nó được gọi là hàng 0 – Hàng 0 – (cột 0), ngược lại, nếu hàng (cột) của ma trận a Một hàng (cột) có ít nhất 1 phần tử khác 0 được gọi là hàng (cột) khác 0.
2. Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng (từ trái sang) hoặc một cột (từ trên xuống) được gọi là phần tử cơ sở (trục) của hàng (hoặc cột)
3. a là ma trận khác không cấp m x n trên k (m, n 2) được gọi là ma trận cấp bậc hàng (cấp bậc hàng) nếu nó có các đặc điểm sau:
3.1 Hoặc là a không có số không, hoặc số không của a luôn nằm dưới đường thẳng khác không.
3.2 Nếu a có ít nhất hai dòng khác 0, thì với bất kỳ dòng nào trong hai dòng khác 0 của nó, phần tử cơ sở của hàng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử cơ sở của hàng trên.
3. a là một ma trận khác không cấp m x n k (m, n ≥ 2), được gọi là ma trận cấp bậc cột, nếu nó có các đặc điểm sau:
3.1 Hoặc a không có cột 0 hoặc cột 0 của a luôn ở bên phải các cột khác 0.
3.2 Nếu a có ít nhất hai cột khác 0, thì đối với bất kỳ hai cột khác không nào của nó, phần tử cơ sở của cột bên phải luôn nằm dưới hàng chứa phần tử cơ sở của cột bên trái.
p>
4. Ma trận cấp bậc hàng hoặc cột được gọi chung là ma trận cấp bậc. Ma trận có cả dạng cấp hàng và cấp cột và có phần tử cơ sở luôn bằng 1 trong mỗi hàng và cột được gọi là ma trận cấp chính tắc.
Bằng trực giác, chúng ta sẽ thấy ma trận cấp hàng và ma trận cấp cột sẽ có dạng như sau:
Ví dụ:
Xét :
![A = left [ { begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end{array}} right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=A+%3D+%5Cleft+%5B+%7B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D+1+%26+3+%26+5+%26+7+%26+9+%5C%5C+0+%26+2+%26+4+%26+6+%26+8+%5C%5C+0+%26+0+%26+0+%26+1+%26+6+%5C%5C+0+%26+0+%26+0+%26+0+%26+5+%5C%5C+0+%26+0+%26+0+%26+0+%26+1+%5C%5C+%5Cend%7Barray%7D%7D+%5Cright%5D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002)
Vậy a không phải là cấp bậc của hàng vì phần tử khác 0 đầu tiên của hàng 5 không nằm bên phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên của hàng 4.
Tuy nhiên, nếu áp dụng phép biến đổi sơ cấp dòng bằng cách biến đổi 
![left [ { begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end{array}} right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft+%5B+%7B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D+1+%26+3+%26+5+%26+7+%26+9+%5C%5C+0+%26+2+%26+4+%26+6+%26+8+%5C%5C+0+%26+0+%26+0+%26+1+%26+6+%5C%5C+0+%26+0+%26+0+%26+0+%26+5+%5C%5C+0+%26+0+%26+0+%26+0+%26+0+%5C%5C+%5Cend%7Barray%7D%7D+%5Cright%5D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002)
Chúng tôi nhận được một ma trận cấp bậc hàng.
2.2 Định lý:
Mỗi ma trận có thể rút gọn thành bậc thang bằng phép biến đổi cơ bản của hàng (cột)