Tổng hợp dạng toán về phương trình bậc 2 một ẩn thông dụng nhất
the
phương trình bậc hai một ẩn là một trong những kỹ năng quan trọng trong chương trình học môn Toán cấp THCS. vì vậy, hôm nay ant guru xin giới thiệu với các bạn một bài viết về chủ đề này. Bài viết sẽ tổng hợp các lý thuyết cơ bản đồng thời đưa ra các dạng toán thường gặp và các ví dụ ứng dụng một cách rõ ràng và chi tiết. đây là một chủ đề phổ biến, thường xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh. Hãy cùng khám phá với chuyên gia kiến:
phương trình bậc hai một ẩn số – lý thuyết.
phương trình bậc hai là gì?
cho phương trình sau: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), được gọi là phương trình bậc hai với ẩn x.
công thức giải pháp: chúng tôi gọi Δ = b2-4ac. sau đó:
- Δ & gt; 0: phương trình có 2 nghiệm:.
- Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x = -b / 2a
- Δ & lt; 0, phương trình đã cho vô nghiệm.
trong trường hợp b = 2b ‘, để đơn giản hơn, chúng ta có thể tính Δ’ = b’2-ac, tương tự như trước đó:
- Δ ‘& gt; 0: Phương trình có 2 nghiệm khác nhau.
- Δ ‘= 0: phương trình có nghiệm kép x = -b’ / a
- Δ ‘& lt; 0: phương trình không có nghiệm.
Định lý viet và ứng dụng của nó trong phương trình bậc hai với một ẩn số.
đối với phương trình bậc hai một ẩn số: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì mối liên hệ sau:
dựa trên mối quan hệ trên, chúng ta có thể sử dụng định lý viet để tính các biểu thức đối xứng có chứa x1 và x2
- x1+x2=-b/a
- x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(b2-2ac)/a2
- …
quan sát: đối với dạng này, chúng ta cần biến đổi biểu thức xuất hiện (x1 + x2) và x1x2 để áp dụng quan hệ viet.
Định lý nghịch đảo viet: giả sử có hai số thực x1 và x2 thỏa mãn: x1 + x2 = s, x1x2 = p thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-sx + p = 0
một số ứng dụng phổ biến của định lý viet trong giải toán:
- Phương trình bậc hai 2 Nghiệm: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),
- nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = c / a
- nếu a-b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1 và x2 = -c / a
- nhân tử của đa thức: đối với đa thức p (x) = ax2 + bx + c nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình p (x) = 0 thì đa thức p (x) = a (x- x1) (x-x2)
- xác định dấu của các nghiệm: đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), giả sử x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình. Theo định lý Viet, ta có:
- nếu s & lt; 0, x1 và x2 trái dấu.
- nếu s & gt; 0, x1 và x2 cùng dấu:
- p & gt; 0, cả hai nghiệm chúng tích cực.
- p & lt; 0, hai giải pháp có cùng âm thanh.
ii. dạng bài tập về phương trình bậc hai với một ẩn số:
dạng 1: bài tập phương trình bậc hai không xuất hiện tham số.
Để giải phương trình bậc hai, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức để tính Δ hoặc Δ ‘, sau đó áp dụng các điều kiện và công thức giải được đề cập ở điểm i.
ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
- x2-3x + 2 = 0
- x2 + x-6 = 0
hướng dẫn:
- Δ = (- 3) 2-4.2 = 1. sau đó
Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý
suy ra một phương trình có nghiệm là x1 = 1 và x2 = 2/1 = 2
- Δ = 12-4. (- 6) = 25. sau đó
tuy nhiên, ngoài các phương trình bậc hai đầy đủ, chúng tôi cũng xem xét các trường hợp đặc biệt sau:
phương trình vị trí đầu cuối.
thiếu số hạng đầu tiên: ax2 + c = 0 (1).
phương pháp:
- Nếu -c/a>0, nghiệm là:
- nếu -c / a = 0, nghiệm x = 0
- nếu -c / a & lt; 0, phương trình không có nghiệm.
kỳ hạn miễn phí mặc định: ax2 + bx = 0 (2). phương pháp:
ví dụ 2: giải phương trình:
- x2-4 = 0
- x2-3x = 0
hướng dẫn:
- x2-4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = -2
- x2-3x = 0 ⇔ x (x-3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3
phương trình trở về dạng bậc hai.
phương trình bình phương : ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0):
- đặt t = x2 (t≥0).
- đưa phương trình về dạng: at2 + bt + c = 0
- giải như phương trình bậc hai bình thường, quan sát điều kiện t≥0
Phương trình chứa ẩn trong mẫu:
- tìm điều kiện xác định của phương trình (điều kiện để mẫu số khác không).
- rút gọn mẫu số.
- giải phương trình thu được, chú ý đến so sánh với điều kiện ban đầu.
lưu ý: phương pháp đặt t = x2 (t≥0) được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. ngoài cách đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán cần khéo léo lựa chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất để đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc hai quen thuộc. ví dụ: bạn có thể đặt t = x + 1, t = x2 + x, t = x2-1…
ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
- 4×4-3×2-1=0
hướng dẫn:
- đặt t = x2 (t≥0), bây giờ phương trình trở thành:
4t2-3t-1 = 0, suy ra t = 1 hoặc t = -¼
- t = 1 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.
- t = -¼, loại do điều kiện t≥0
khi đó phương trình có nghiệm là x = 1 hoặc x = -1.
- chúng tôi có:
dạng 2: phương trình bậc hai với một tham số chưa biết.
suy luận số nghiệm của phương trình bậc hai.
phương pháp: sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để lập luận rằng phương trình có 2 nghiệm khác nhau, có nghiệm kép hay không có nghiệm.
ví dụ 4: giải và biện luận theo tham số m: mx2-5x-m-5 = 0 (*)
hướng dẫn:
coi m = 0, thì (*) -5x-5 = 0 x = -1
coi m ≠ 0 thì (*) là phương trình bậc hai với ẩn số x.
- Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:
- Δ=0 ⇔ m=-5/2, phương trình có nghiệm duy nhất.
- Δ>0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
xác định điều kiện của các tham số để thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
phương pháp: Để thỏa mãn yêu cầu của bài toán, trước hết phương trình bậc hai phải có nghiệm. vì vậy chúng tôi làm như sau:
- tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.
- dựa vào định lý viet ta thu được các quan hệ giữa tích và tổng, từ đó lập luận theo yêu cầu. .
ví dụ 5: cho phương trình x2 + mx + m + 3 = 0 (*). tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm:
hướng dẫn:
để phương trình (*) có nghiệm:
khi đó, gọi x1 và x2 là 2 nghiệm, theo định lý viet:
nếu không:
theo chủ đề:
thử lại:
- khi m = 5, Δ = -7 <0 (nhận)
- khi m = -3, Δ = 9> 0 (nhận)
thì m = -3 đáp ứng các yêu cầu của chủ đề.
trên đây là tổng hợp phương trình bậc hai ẩn của ant guru. Mong rằng qua bài viết này các bạn đã hiểu rõ hơn về chủ đề này. Ngoài việc củng cố kiến thức cho bản thân, các em còn rèn luyện óc giải các bài toán về phương trình bậc hai. Bạn cũng có thể kiểm tra các bài viết khác trên trang ant guru để tìm hiểu thêm. khám phá thêm nhiều kiến thức mới. Chúc các bạn luôn vui khỏe và học tập tốt!
