Bất đẳng thức đáng nhớ là một phần quan trọng của chương trình học toán dành cho học sinh. hiểu được bất đẳng thức là gì, bất đẳng thức cosi (am-gm), bất đẳng thức bunhiacopxki, bất đẳng thức schwarz… sẽ giúp các em tìm ra lời giải cho các bài toán. Cùng 25giay.vn tìm hiểu các bất đẳng thức đáng nhớ trong bài viết tiếp theo nhé!
lý thuyết bất bình đẳng? bất đẳng thức đáng nhớ bất đẳng thức cosi (hay bất đẳng thức am-gm) bất đẳng thức bunhiacopxki là gì?
lý thuyết bất đẳng thức? bất đẳng thức đáng nhớ
định nghĩa của bất bình đẳng là gì?
Trong toán học, bất đẳng thức (tiếng Anh: bất bình đẳng) là một phát biểu về mối quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng, hai đối tượng là biểu thức chứa các số và phép toán.
quan sát: bất bình đẳng am-gm là gì
biểu thức ở vế trái của dấu bất đẳng thức được gọi là vế trái, biểu thức ở vế phải được gọi là vế phải của bất đẳng thức.
định nghĩa của bất bình đẳng tuyệt đối là gì?
Khi một bất đẳng thức áp dụng cho tất cả các giá trị của tất cả các biến có trong bất đẳng thức, nó được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hoặc vô điều kiện.
Khi một bất đẳng thức đúng với một số giá trị của biến, đối với các giá trị khác, nó bị đảo ngược hoặc không còn đúng nữa, nó được gọi là bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng sẽ vẫn đúng nếu cả hai vế của nó được cộng hoặc trừ với cùng một giá trị hoặc nếu cả hai vế của nó được nhân hoặc chia cho cùng một số dương.
Một bất đẳng thức sẽ bị đảo ngược nếu cả hai vế của nó được nhân hoặc chia cho một số âm. đây là những khái niệm cơ bản nhưng quan trọng về các bất đẳng thức đáng nhớ.
định nghĩa 1: mối quan hệ hoàn toàn không bình đẳng
số thực a được cho là lớn hơn số thực b, ký hiệu là a & gt; b khi a – b là một số dương, tức là (a-b> 0), hoặc còn được ký hiệu là b
chúng tôi có: (a & gt; bleftrightarrow a-b & gt; 0)
trường hợp nếu a & gt; b hoặc a = b, có thể được ký hiệu là (ageq b).
chúng tôi có: (ageq bleftrightarrow a-bgeq0)
định nghĩa 2
giả sử rằng a và b là hai biểu thức (biểu thức có thể là số hoặc chứa các biến)
chúng ta có một mệnh đề: “a lớn hơn b”, được ký hiệu là (a & gt; b)
“a nhỏ hơn b”, ký hiệu (a
“a nhỏ hơn hoặc bằng b”, ký hiệu (a leq b)
“a lớn hơn hoặc bằng b”, ký hiệu (a geq b)
Đó được gọi là bất bình đẳng.
quy ước: – khi chúng ta nói về một bất bình đẳng mà không nói gì khác, chúng ta hiểu rằng đó là một bất bình đẳng thực sự.
thử nghiệm một bất đẳng thức sẽ chứng minh rằng bất đẳng thức là đúng.
Các dạng bài toán phổ biến nhất về chủ đề bất bình đẳng là:
bài toán chứng minh bất đẳng thức. bài toán giải bất đẳng thức (tìm tập giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng). bài toán extreme (tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức) thức một hoặc một số biến.
bất đẳng thức cơ bản cho các số thực dương và âm
trong đó a là số thực dương, chúng tôi ký hiệu là & gt; 0
trong đó a là số thực âm, chúng tôi ký hiệu là
a là một số thực dương hoặc a = 0, chúng ta nói rằng a là một số thực không âm và biểu thị (ageq 0)
a là một số thực âm hoặc a = 0, chúng ta nói rằng a là một số thực không dương và biểu thị (aleq 0)
đối với hai số thực a và b, chỉ có thể có một trong ba khả năng:
a & gt; b, a
phủ định của mệnh đề “(a> 0)” là mệnh đề “(aleq 0)”
sự phủ định của mệnh đề “(a
các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
thuộc tính 1: thuộc tính cầu nối
với tất cả các số thực a, b, c ta có: (left {begin {matrix} a & amp; & gt; & amp; b b & amp; & gt; & amp; c end {matrix} right. rightarrow a & gt; c)
thuộc tính 2: thuộc tính liên quan đến phép cộng và phép trừ cả hai vế của một số
thuộc tính này được phát biểu như sau: phép cộng và phép trừ với cùng một số thực bảo toàn mối quan hệ thứ tự trong tập hợp các số thực
quy tắc để thêm cả hai bên với một số: (a & gt; b left rightarrow a + c & gt; b + c)
trừ cả hai cạnh bằng cùng một số: (a & gt; b mũi tên trái-phải a-c & gt; b-c)
hệ quả 1: switch: (a + c & gt; bleftrightarrow a & gt; b-c)
thuộc tính 3: quy tắc để thêm hai bất phương trình theo cùng một hướng
(left {begin {matrix} a & amp; & gt; & amp; b c & amp; & gt; & amp; d end {matrix} right.rightarrow a + c & gt; b + d)
thuộc tính 4: thuộc tính liên quan đến phép nhân và phép chia cả hai vế của một bất đẳng thức
thuộc tính này được đặt như sau:
phép nhân (hoặc chia) với một số thực dương bảo toàn quan hệ thứ tự trong tập hợp các số thực, phép nhân (hoặc chia) với một số thực âm đảo ngược quan hệ thứ tự trong tập hợp các số thực.
quy tắc nhân cả hai vế với cùng một số: (a & gt; b left rightarrow sang trái {begin {matrix} ac & amp; & gt; & amp; bc (c & gt; 0) ac & amp;
quy tắc chia cả hai vế cho cùng một số: (a & gt; b leftrightarrow left {begin {matrix} frac {a} {c} & amp; & gt; & amp; frac {b} {c} (c & gt; 0) frac {a} {c} và
hệ quả 2: quy tắc để thay đổi các dấu hiệu: (a & gt; bleftrightarrow -a
thuộc tính 5: quy tắc nhân cả hai vế của các bất đẳng thức bằng nhau: (left {begin {matrix} a & amp; & gt; & amp; b & amp; & gt; & amp; 0 c & amp; & gt; & amp; d & amp; & gt; & amp; 0 end {matrix} right. Rightarrow ac & gt; bd) thuộc tính 6: quy tắc nghịch đảo cho cả hai vế: (a & gt; b & gt; 0 leftrightarrow 0 thuộc tính 7: quy tắc nâng lên lũy thừa của n: (a & gt; b & gt; 0, nin n * rightarrow a ^ {n} & gt; b ^ {n}) thuộc tính 8: căn bậc n quy tắc: (a & gt; b & gt; 0, nin n * rightarrow sqrt {a} & gt; sqrt {b})
hệ quả: quy tắc bình phương của cả hai bên
nếu a và b là các số dương thì: (a & gt; bleftrightarrow a ^ {2} & gt; b ^ {2})
nếu a và b là hai số không âm thì: (ageq bleftrightarrow a ^ {2} geq b ^ {2})
bất bình đẳng giá trị tuyệt đối
Tính chất của bất đẳng thức đáng nhớ này được tóm tắt dưới đây:
(left | right | geq 0, left | right | ^ {2} = a ^ {2}, a
với tất cả a, b trong r, chúng ta có:
(left | a + b right | leq left | a right | + left | b right |) (left | a-b right | leq left | a right | + left | b right |) (left | a + b right | = left | a right | + left | b right | leftrightarrow abgeq 0) (left | a-b right | = left | a right | + left | b right | leftrightarrow canq 0)
bất đẳng thức trong tam giác là gì?
nếu a, b, c là ba cạnh của tam giác thì ta có:
(a & gt; 0, b & gt; 0, c & gt; 0) (left | b-c right | (left | c-a right | (left | a-b right | (a & gt; b & gt; c right arrow a & gt; b & gt; c))
hàm đơn điệu và bất đẳng thức
Từ định nghĩa của hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm), chúng ta có thể biến cả hai vế của bất đẳng thức thành các biến của hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt và kết quả của bất đẳng thức vẫn đúng. và ngược lại, nếu chúng ta bao gồm cả hai vế của bất đẳng thức hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt, chúng ta phải đảo ngược bất đẳng thức ban đầu để bất đẳng thức trở thành đúng.
xem thêm: giải trí thùng – hướng dẫn lớp học làm chủ buổi bình minh nghiệt ngã
có nghĩa là:
nếu tồn tại bất đẳng thức không nghiêm ngặt (a leq b) (hoặc (a geq b)), có hai trường hợp: khi f (x) là một hàm tăng đơn điệu thì (f (a) leq f (b ))) (hoặc (f (a) geq f (b)) (không nghịch đảo). Khi f (x) giảm đơn điệu, thì (f (a) geq f (b)) (hoặc (f (a)) leq f (b)) (nghịch đảo). Nếu có một bất đẳng thức nghiêm ngặt đối với b), cũng có hai trường hợp: khi f (x) là một hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt thì (f (a) f (b))) ( không phải khi f (x) là một hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt, vì vậy (f (a)> f (b)) (hoặc (f (a)
bất đẳng thức kép là gì?
biểu tượng
(a
có thể dễ dàng nhận thấy, sử dụng các thuộc tính tương tự như trên, có thể cộng / trừ cùng một số cho ba số hạng này hoặc nhân / chia cả ba số hạng với cùng một số khác 0 và tùy thuộc vào dấu của số nhân / chia mà không đảo ngược bất đẳng thức.
*** lưu ý: bạn chỉ có thể làm như trên với cùng một số, tức là (a
Nói chung, bất đẳng thức kép có thể được sử dụng với bất kỳ số hạng nào: ví dụ: (a_ {1} leq a_ {2} leq… leq a_ {n}) nghĩa là (a_ {i)} leq a_ {i + 1 }) với i = 1, 2, 3,,…, n-1. tương đương với (a_ {i} leq a_ {j} forall 1 leq ileq j leq n)
Kí hiệu bất đẳng thức ghép đôi khi được sử dụng với các bất đẳng thức có hướng ngược nhau, trong trường hợp đó, nó được hiểu là sự ghép nối các bất đẳng thức phân biệt cho hai số hạng liền kề. ví dụ: (ac leq d) có nghĩa là c và (cleq d)
Trong toán học, ký hiệu này thường được sử dụng, nhưng trong các ngôn ngữ lập trình, chỉ một số ngôn ngữ như python mới cho phép ký hiệu này.
Khi đối mặt với các đại lượng không thể tìm được hoặc không dễ dàng tìm được công thức chính xác, các nhà toán học thường sử dụng các bất đẳng thức để giới hạn phạm vi giá trị mà các đại lượng này có thể có. .
bất bình đẳng thứ (hoặc bất bình đẳng am-gm)
bất đẳng thức cosi là gì? định nghĩa của phương trình cosic trong toán học
Bất đẳng thức cosi, hay bất đẳng thức am-gm, thực sự là một bất đẳng thức đáng nhớ cho thấy mối quan hệ giữa giá trị trung bình và giá trị trung bình được nhân. đây là một trong những bất đẳng thức đáng nhớ nhất được sử dụng trong chương trình toán trung học phổ thông để chứng minh bất đẳng thức.
Bất đẳng thức am-gm là tên chính xác của bất đẳng thức trung bình và trung bình nhân. Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này, nhưng cách tốt nhất là chứng minh theo quy nạp của cosi (cauchy). Do đó, nhiều người lầm tưởng rằng Cauchy đã phát hiện ra bất đẳng thức này. Theo tên chung quốc tế, bất đẳng thức cosi được gọi là bất đẳng thức am-gm (phương tiện số học – phương tiện hình học).
Trong toán học, bất đẳng thức cosic là bất đẳng thức so sánh trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được biểu thị như sau:
trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và trung bình cộng bằng trung bình nhân chỉ khi và chỉ khi tất cả n số đều bằng nhau.
đối với trường hợp 2 số thực không âm và 3 số thực không âm: và nói chung với n số thực không âm: (x_ {1,}, x_ {2}, x_ {3},… x_ {n }), chúng tôi có:
(frac {x_ {1} + x_ {2} +… + x_ {n}} {n} geq căn bậc hai {x_ {1} x_ {2}… x_ {n}})
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x_ {1} = x_ {2} =… = x_ {n})
ứng dụng của bất đẳng thức cosic để giải quyết vấn đề
chứng minh bất đẳng thức cosi cho n số thực không âm
Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?
Bất đẳng thức bunhiacopxki, chính xác được gọi là bất đẳng thức cauchy – bunhiacopxki – schwarz, do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. thường được đặt theo tên của nhà toán học Nga bunhiacopxki. Với bất đẳng thức đáng nhớ này, bạn cần biết những điều sau:
bất đẳng thức bunhiacopxki cơ bản
với hai dãy số thực (a_ {1}, a _ {} 2,… a_ {n}) và (b_ {1}, b _ {} 2,… b_ {n}) chúng ta có:
((a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} +… + a_ {n} b_ {n}) ^ {2} leq (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2}… + a_ {n} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2}… + b_ {n} ^ {2}))
đẳng thức xảy ra nếu và chỉ khi (frac {a_ {1}} {b_ {1}} = frac {a_ {2}} {b_ {2}} =… = frac {a_ {n}} {b_ { n}})
bất đẳng thức bunhiacopxki ở dạng phân số
với hai dãy số thực (a_ {1}, a _ {} 2,… a_ {n}) và (b_ {1}, b _ {} 2,… b_ {n}) chúng ta có:
(frac {a_ {1} ^ {2}} {b_ {2}} + frac {a_ {2} ^ {2}} {b_ {2}} +… + frac {a_ {n} ^ { 2}} {b_ {n}} phân số geq {a_ {1} + a_ {2} +… + a_ {n}} ^ {2} {b_ {1} + b_ {2} +… + b_ {n} })
đẳng thức xảy ra nếu và chỉ khi (frac {a_ {1}} {b_ {1}} = frac {a_ {2}} {b_ {2}} =… = frac {a_ {n}} {b_ { n}})
áp dụng công thức bunhiacopxki để giải toán
Bất đẳng thức Holder là gì?
Bất đẳng thức của người nắm giữ (được đặt theo tên của người nắm giữ otto nhà toán học người Đức), là một bất đẳng thức đáng nhớ liên quan đến dấu cách (l ^ {p}) được sử dụng để chứng minh tính tổng quát của bất đẳng thức tam giác trên không gian (l ^ {p})
với m dãy số dương ((a_ {1,1}, a_ {1,2},…, a_ {1, n}), (a_ {2,1}, a_ {2,2}, …, A_ {2, n})… (a_ {m, 1}, a_ {m, 2},…, a_ {m, n})) chúng ta có:
(prod_ {i = 1} ^ {m} left (sum_ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} right) geq left (sum_ {j = 1} ^ {n} sqrt {prod_ {i = 1} ^ {m}} a_ {i, j} đúng) ^ {m})
đẳng thức xảy ra khi m dãy tương ứng tỷ lệ với nhau.
Bất đẳng thức cauchy – chwarz xuất phát từ bất đẳng thức của người nắm giữ khi m = 2.
bất đẳng thức minkowski (mincopxki)
Giống như bất đẳng thức của người nắm giữ, bất đẳng thức của minkowski dẫn đến kết luận rằng không gian lp là không gian vectơ bình thường.
xem thêm: nhiều hơn nữa là gì – câu hỏi và câu trả lời bằng tiếng Anh: cách sử dụng các từ & amp; # 39thêm & amp; # 39
Bất đẳng thức minkowski là một bất đẳng thức đáng nhớ với công thức cụ thể sau:
với hai dãy số thực (a_ {1}, a_ {2},…, a_ {n}) và (b_ {1}, b_ {2},…, b_ {n}) chúng ta có:
(căn bậc hai {a_ {1} ^ {2} + b_ {1} ^ {2}} + căn bậc hai {a_ {2} ^ {2} + b_ {2} ^ {2}} +… + căn bậc hai {a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2}} căn bậc hai geq {(a_ {1} + a_ {2} +… + a_ {n}) ^ {2} + {} } (b_ {1} + b_ {2} +… + b_ {n}) ^ {2})
bất bình đẳng chồn minkowski mở rộng:
với hai dãy số thực (a_ {1}, a_ {2},…, a_ {n}) và (b_ {1}, b_ {2},…, b_ {n}) chúng ta có:
(căn bậc hai {a_ {1} a_ {2}… a_ {n}} + căn bậc hai {b_ {1} b_ {2}… b_ {n}} căn bậc hai leq {(a_ {1} + b_ {1}) (a_ {2} + b_ {2})… (a_ {n} + b_ {n})})
dấu “=” của bất đẳng thức minkowski giống với bất đẳng thức cauchy – schwarz
bất bình đẳng schwarz là gì?
Bất đẳng thức schawarz còn được gọi là bất đẳng thức cauchy, bất đẳng thức cauchy schwarz, bất đẳng thức cauchy-buyakovski-schwarz. Bất đẳng thức Schwarz, hay bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, được đặt theo tên của ba nhà toán học nổi tiếng Augustin Louis Cauchy, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Amandus Schwarz.
Đây là một bất đẳng thức đáng nhớ thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau, chẳng hạn như vectơ trong đại số tuyến tính, trong phép tính cho chuỗi vô hạn và cho tích phân, trong lý thuyết xác suất cho phương sai.
cho hai dãy số thực (a_ {1}, a_ {2},…, a_ {n}) và (b_ {1}, b_ {2},…, b_ {n}) với (b_ { i)} geq 0) chúng tôi có:
(phân số {a_ {1} ^ 2} {b_ {1}} + phân số {a_ {2} ^ 2} {b_ {2}} +… + phân số {a_ {m} ^ 2} {b_ { m}} phân số geq {(a_ {1} + a_ {2} +… + a_ {m}) ^ 2} {b_ {1} + b_ {2} +… + b_ {m}})
Bất đẳng thức Chebyshev là gì?
Bất đẳng thức Chebyshev cộng cũng là một bất đẳng thức quan trọng và đáng nhớ. được đặt theo tên của nhà toán học pafnuty chebyshev:
(bên trái {begin {matrix} a_ {1} & amp; geq & amp; a_ {2} geq & amp;… & amp; geq & amp; a_ {n} b_ {1} & amp; geq & amp; b_ {2} geq & amp;… & amp; geq & amp; b_ {n} end {matrix} phải.)
suy ra: (frac {1} {n} sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} geqleft (frac {1} {n} sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {k} right) left (frac {1} {n} sum_ {k = 1} ^ {n} b_ {k} right))
(trái {begin {matrix} a_ {1} & amp; geq & amp; a_ {2} geq & amp;… & amp; geq & amp; a_ {n} b_ {1} & amp; leq & amp; b_ {2} leq &… & Leq & b_ {n} end {matrix} phải.)
= & gt; (frac {1} {n} sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} leqleft (frac {1} {n} sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {k} đúng )) left (frac {1} {n} sum_ {k = 1} ^ {n} b_ {k} right))
Trên đây là tổng hợp những kiến thức về bất đẳng thức cơ bản và quan trọng nhất. Mong rằng bài viết trước của 25giay.vn đã giúp các bạn hiểu được bất đẳng thức là gì. công thức bất đẳng thức cosi, bất đẳng thức bunhiacopxki, bất đẳng thức schwarz… nếu các bạn có đóng góp hay thắc mắc gì về bài viết các bất đẳng thức đáng nhớ hãy để lại comment cho chúng tôi biết nhé. Hãy nói chuyện nhiều hơn!
